Розвивається спектральна теорія та теорія розсіяння для одного класу самоспряжених матричних диференціальних операторів змішаного порядку.

Вивчено класи несумісності розширень мінімальних топологічних півгруп перетворень.

Розглянуто процес застосування теоретико-групових методів у сучасній математичній та теоретичній фізиці, а також інших природничих науках. Значну увагу приділено квантовим групам, зображенню груп і алгебр Лі та деяким прикладним задачам, що досліджуються з використанням симетрійного аналізу.

Описано максимальні ідеали кілець, що містяться в приєднаних групах їх верхніх кілець.

В роботі доводиться, що транзитивна дія локально компактної сепарабельної групи має кумедний ранг один. Цей факт раніше було доведено тільки для дій розв'язних груп. Теорему доводимо спочатку для дій груп Лі, а потім узагальнюємо з використанням апроксимації топологічних груп групами Лі. Як природний наслідок одержуємо, що з дискретного спектру витікає кумедний ранг один.

Вивчено алгебру операторів з ядром Бергмана, розширену ізометричними операторами зваженого зсуву. Коефіцієнти алгебри вважаються автоморфними відносно циклічної параболічної групи дробно-лінійних перетворень одиничного круга та неперервними на рімановій поверхні групи. За допомогою ізометричного перетворення одержано квазіавтоморфний матричний оператор на рімановій поверхні з властивостями, аналогічними властивостям оператора Бергмана. Це дає можливість побудувати алгебру символів, дати ефективний критерій фредгольмовості та обчислити індекс операторів розглянутої алгебри.

Викладено необхідний теоретичний матеріал, контрольні питання та завдання, розв'язання типових прикладів, задачі та вправи для практичних занять до всіх розділів курсу "Алгебра та геометрія": векторна алгебра, аналітична геометрія, визначники та матриці, системи лінійних алгебричних рівнянь, лінійні простори, лінійні оператори, квадратичні форми, жорданова нормальна форма матриць. У додатках вміщено основні формули векторної алгебри, аналітичної геометрії, різновиди матриць і систем лінійних рівнянь.

Досліджено групи з локально циклічними абелевими підгрупами. Конструктивно описано локально розв'язні групи такого роду, що мають неодиничну періодичну частину, а також локально розв'язні групи, у яких всі абелеві підгрупи циклічні.

Розглянуто основні тотожності булевої алгебри та доведено їх категорні аналоги.

Доведено, що довільна зліченна гаусдорфова топологічна (інверсна) напівгрупа топологічно ізоморфно вкладається у просту зліченну зв'язну гаусдорфову топологічну (інверсну) напівгрупу з одиницею.

Одержані результати збурення псевдообернених і проекційних матриць запропоновано застосувати до розв'язування лінійних і нелінійних задач ідентифікації. Наведено відповідні формули перетворення цих матриць для збурень типу зміни значень елементів матриць і зміни розмірності (додавання чи вилучення рядка). Результати поширено на розв'язування задач нелінійної регресії, апроксимації функцій, прогнозу й розпізнавання образів.

Одержано інтегральне зображення цілком монотонної функції на півгрупі Лі й доведено рівносильність "різницевого" та "диференціального" означень такої функції.

Описуються класи груп з умовами щільності нормальності та її узагальнень для деяких систем підгруп. Поняття щільності пов'язується з поняттям відрізка, інтервалу чи півінтервалу підгруп. Кожне з цих понять дає можливість виділяти нові, різні класи груп. Описані як скінченні, так і нескінченні локально ступінчасті (локально майже розв'язані) групи з умовами певних щільностей нормальності (майже нормальності) для різних систем підгруп.

Одержано опис розв'язних груп, всі власні фактор-групи яких шарово-черніковські.

На підставі теорії груп Лі отримано автомодельні змінні, функції і диференціальні рівняння, в тому числі загальне рівняння Блазіуса. Доведено, що форма загального звичайного диференціального рівняння визначається вибором параметричної змінної. Внаслідок використання властивості симетрії, загальне рівняння Блазіуса було редуковано до рівняння першого порядку, а також отримано два нових автомодельних розв'язки рівнянь Прандтля. Простежено засіб трансформації однопараметричної алгебри Лі рівнянь Прандтля, що містять чотири підалгебри, до алгебри Прандтля з трьома підалгебрами, одна з яких є двопараметричною.

Розвинуто застосування функціонального числення, побудованого раніше, до обчислених значень похідних функції Дірака від генератора апівгрупи дробового інтегрування.

Изучено теоретическую базу развивающихся в настоящее время информационных технологий, связанных с обработкой больших объемов дискретной информации. Изложена аксиоматика Цермело, на основании которой проведена граница между дискретным и непрерывным в основаниях математики. Исследованы методы математической логики, основы комбинаторного анализа и теории графов. Значительное внимание уделено алгоритмам решения дискретных задач. Приведены практические задачи и упражнения.

Вивчається структура добутку абелевої групи на нільпотентну. Наведено умови, за яких існує нормальний дільник в одному з множників, що узагальнює відомі результати про добуток двох абелевих груп. Отримані твердження застосовуються для опису будови добутку нескінченної циклічної та періодичної нільпотентної підгруп.

Доведено теорему, що характеризує майже шарово скінченні групи в класі спряжено біпримітивно скінченних груп.

Розглянуто ітераційний наближений розв'язок системи лінійних нерівностей за умови спеціальних коефіцієнтів при невідомих.