Проведено изучение вычислительных методов в линейных и нелинейных системах. Детально рассмотрен метод фазовой плоскости и метод изоклин для численного построения фазового портрета изучаемых систем. Подробно разобраны случаи "положительного" и "отрицательного" трения, возвращающей и отталкивающей силы в линейных системах. Изучены связанные осцилляторы, нормальные моды, фазовая и групповая скорости, теорема о ширине частотной полосы. При изучении нелинейных систем в первую очередь внимание обращается на солитоны и явление динамического хаоса. Основное внимание уделяется математическим методам численного решения данных задач на ПЭВМ.

Викладено вибрані результати досліджень двох проблем арифметичної геометрії алгебричних кривих над простими скінченними полями: а) існування раціональних точок; б) розподіл кутів сум Клостермана. У рамках комп'ютерної підтримки досліджень проведено стислий опис обчислень на ЕОМ, а також алгебричний та аналітичний контексти задач такого типу.

Досліджено умови збіжності ітераційних методів Ньютона, в яких допоміжні лінійні задачі розв'язуються наближено. Запропоновано ефективні критерії завершення внутрішніх лінійних ітерацій.

Розглянуто нові класи задач з розривними розв'язками. Отримано відповідні узагальнені задачі. Для розглянутих нових класів задач запропоновано обчислювальні схеми, за точністю асимптотично не гірші за аналогічні схеми для задач із гладкими розв'язками.

Запропоновано метод розв'язування узагальненого матричного рівняння Сільвестра за ітераційним процесом, одержано достатню умову збіжності ітераційного процесу для розв'язку цього рівняння.

Вивчено нормовану обчислювальну міру власних значень добутку двох унітарних матриць, які незалежно обернуті одна відносно іншої за допомогою випадкової матриці, розподіленої за мірою Хаара, у границі нескінченного виміру матриць. Встановлено збіжність з ймовірністю 1 до граничної випадкової міри. Отримано функціональне рівняння для перетворення Герглотца граничної міри.

Запропоновано модифікований метод зустрічних прогонок для розв'язання різницевих рівнянь другого порядку, які описують фізичні процеси в областях з внутрішньою межою розподілу. Можливість застосування цього методу підтверджено аналізом результатів розв'язання рівняння Пуассона, одержаних аналітичним та чисельними методами.

Приведена теория ограничительных функций и ее возможности для построения монотонных (квазимонотонных) разностных схем для систем нелинейных уравнений гиперболического типа. Для определяющего функционального уравнения, производящего ограничительные функции, построены алгоритмы размножения решений. Рассмотрен класс полиномиальных ограничителей.

Для двовимірного рівняння параболічного типу (типу турбулентної дифузії) засобом нелінійної регуляризації, використовуючи схему розщеплення, побудовано двошарові неявні монотонні схеми другого порядку. Доведено стійкість розроблених схем, отримано мажорантні оцінки для нелінійних різницевих операторів і оцінку швидкості збіжності різницевого розв'язку. Проведено тестові розрахунки з моделювання процесів переносу та дифузії у двовимірній області.

Получены симметричные представления решения алгебраического уравнения Риккати при использовании метода матричной сигнум-функции. Рассмотрены варианты выражения решения через неортогональный и ортогональный проекторы.

Запропоновано нетрадиційний підхід до побудови двосторонніх ітераційних процесів розв'язування нелінійних рівнянь. Спосіб полягає у дослідженні деякого допоміжного нелінійного рівняння, яке має ті самі розв'язки, що й вихідне. На основі встановлених властивостей допоміжного рівняння побудовано ітераційний процес розв'язування вихідного рівняння та обгрунтовано його збіжність.

Розглянуто задачу оптимального розміщення дискретних джерел фізичного поля. Поле описується крайовою задачею для рівняння з частинними похідними. Для розв'язування крайової задачі застосовано метод скінченних елементів. При використанні градієнтних методів до розв'язання оптимізаційної задачі необхідно визначити часткові похідні розв'язку крайової задачі за параметрами розміщення джерел. Показано, що деякі особливості методу скінченних елементів полегшують обчислення цих похідних.

Методом коллокаций и методом механических квадратур построено приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с комплексно сопряженными значениями неизвестной функции. Получены оценки скорости сходимости к точному решению.

Для розв'язування рівняння Пуассона в прямокутній області застосовано чисельний метод підвищеної точності, що базується на співвідношенні між значеннями функції та її похідних у сусідніх вузлах сітчастої області. Наведено результати розв'язку модельних задач даним методом.

Робота присвячена обгрунтуванню прямих методів наближеного розв'язання лінійних операторних рівнянь з ненулевими ядрами та їх застосуванню до обгрунтування проекційних методів наближеного розв'язання нормального випадку сингулярних інтегральних рівнянь з ядром Коші на одиничному колі при позитивному індексі.

Наведено методи розв'язання зазначених рівнянь; базуються вони на зведенні до систем лінійних алгебраїчних. Відмінною рисою запропонованих методів від уже відомих є ефективність та простота реалізації.

Розглядаються питання регуляризації частини обмежень оптимізаційних задач для об'єктів, що описуються системою нелінійних операторних рівнянь з рівнянням Гаммерштейна і обмеженнями типу операторних нерівностей і включень на фазові та керовані змінні. Застосовано метод "операторних деформацій" для регуляризації частини обмежень.

Розглянуто один з методів покращання обчислювальних властивостей матриць систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Розглянуто крайову задачу для нелінійного диференціально-різницевого рівняння нейтрального типу. Одержано достатні умови існування розв'язку. Побудовано ітераційну схему знаходження наближеного розв'язку методом сплайн-функцій.

Рассматривается двумерное нелинейное интегральное уравнение Вольтерра-Урысона. Его решение осуществляется сходящимся для вольтерровских уравнений итерационным методом с использованием аппроксимационных сплайн-функций. На основе аппроксимационных бипараболических и бикубических сплайнов получены в явном виде кубатурные формулы. Произведены оценки погрешностей и сформулированы соответствующие теоремы.