Розглянуто різні методи виведення стохастичної ієрархії, що відповідає стохастичній динаміці, яка є границею Больцмана - Греда від гамільтонової динаміки пружних куль. Розв'язки стохастичної ієрархії є границею Больцмана - Греда розв'язків ієрархії ББГКІ для пружних куль у всьому фазовому просторі. Запропоновано нову концепцію редукованих функцій розподілу, що відповідають стохастичній динаміці. Нові функції розподілу враховують вклади від гіперплощин менших розмірностей, де взаємодіють стохастичні точкові частинки. Розв'язки рівняння Больцмана збігаються з одночастинковими функціями розподілу стохастичної ієрархії Больцмана та зображуються інтегралами на гіперповерхнях, де стохастичні точкові частки взаємодіють.

Встановлено, що у термодинамічній границі середні за усіма збудженими станами на одиницю об'єму від модельного гамільтоніана БКШ та відповідного апроксимуючого гамільтоніана збігаються. Раніше це було встановлено тільки для основного стану.

Визначено стохастичну динаміку, яка є границею Больцмана-Греда від гамільтонової динаміки системи пружних куль. Введено нову концепцію середніх від спостережуваних за станами стохастичних систем. В ньому враховуються вклади від гіперповерхонь, на яких взаємодіють точкові стохастичні частки. Подано строге визначення інфінітезімальних операторів для півгрупи еволюційних операторів.

Наведено результати досліджень еволюційних рівнянь багаточастинкових систем статистичної механіки. Викладено сучасні методи дослідження еволюційних рівнянь нескінченночастинкових систем.

Приведены результаты исследований эволюционных уравнений многочастичных систем статистической механики. Изложены современные методы исследования эволюционных уравнений бесконечночастичных систем.

М. М. Боголюбовим доведено, що середні енергії на одиницю об'єму основних станів для гамільтоніана БКШ та апроксимуючого гамільтоніана у термодинамічній границі асимптотично збігаються. Показано, що цей результат має місце і для усіх збуджених станів. Водночас установлено, що гамільтоніан БКШ та апроксимуючий гамільтоніан у термодинамічній границі асимптотично збігаються як квадратичні форми.

Розглянуто модель Фрьоліха-Пайерлса для електронів, що взаємодіють з фононами тільки за певних дискретних мод. Показано, що у рівноважному випадку дана модель термодинамічно еквівалентна моделі електронів з періодичним потенціалом та вільних фононів. У одновимірному випадку потенціал знаходиться точно і виражається через еліптичну функцію Вейєрштрасса, а задача на власні значення теж має точний розв'язок. Нерівноважні стани описуються зв'язаними нелінійними рівняннями Шредінгера та хвильовим рівнянням, які в одновимірному випадку мають точні солітонні розв'язки.

Розглянуто модельний та апроксимуючий гамільтоніани безпосередньо для нескінченного об'єму. Показано, що обидва гамільтоніани мають дві гілки спектра та дві системи власних векторів, які складаються з основних станів модельного й апроксимуючого гамільтоніанів та їх збуджень. На обох системах власних векторів модельний та апроксимуючий гамільтоніани збігаються. В обох гілках спектра існує щілина між власними значеннями основного та збуджених станів.

Введено стохастичну динаміку у фазовому просторі, яка відповідає рівнянню й ієрархії Больцмана та є границею Больцмана - Греда гамільтонової динаміки системи пружних куль. Методом усереднення за просторовими змінними з неї виведено стохастичну динаміку в імпульсному просторі, яка відповідає просторово-однорідному рівнянню та ієрархії Больцмана. Аналогічна динаміка в наближенні середнього поля у свій час була постульована Кацом для пояснення явища еволюції хаосу та виведення рівняння Больцмана.

Вивчено спектри модельного гамільтоніана з взаємодією БКШ і середнього поля в скінченному об'ємі та періодичних граничних умовах. Модельний гамільтоніан розглянуто на станах пар, хвиль густини заряду та їх збуджень. На цих станах модельний гамільтоніан представлено трьома операторами, що описують невзаємодіючі пари, взаємодію між парами та хвилями густини заряду. Останні два оператори прямують до нуля у термодинамічній межі, тому спектр модельного гамільтоніана асимптотично збігається зі спектром невзаємодіючих пар зі зсуненим взаємодією середнього поля хімічним потенціалом. Доведено, що модельний та апроксимуючий гамільтоніани збігаються у термодинамічній межі на їх основних і збуджених станах й обидва мають дві гілки власних значень та власних векторів.

Побудовано стохастичну динаміку, що відповідає рівнянню Больцмана з довільним перерізом розсіяння. Вивчено стохастичну ієрархію Больцмана, розв'язки якої назовні гіперплощин нижчої розмірності, де точкові частинки взаємодіють, збігаються з добутком одночастинкових кореляційних функцій, якщо початкові кореляційні функції є добутком одночастинкових кореляційних функцій. У свою чергу, одночастинкова кореляційна функція задовольняє рівняння Больцмана. Виведено динаміку М. Каца у просторі імпульсів.

Гамільтоніан БКШ теорії надпровідності має другу гілку власних значень та власних векторів, яка складається з хвильових функцій пар електронів в основному та збуджених станах. Неперервний спектр збуджених пар відділений відмінною від нуля щілиною від точки дискретного спектра, що відповідає парі в основному стані. Відповідна велика статистична сума та вільна енергія вирахувані точно. Звідси випливає, що за низьких температур система є в конденсаті пар в основному стані. Послідовність кореляційних функцій вирахувана точно у термодинамічній границі і збігається з відповідною послідовністю системи з апроксимуючим гамільтоніаном. Щілина в спектрі збуджень залежить неперервно від температури і є відмінною від нуля і на відрізку вище критичної температури, що відповідає першій гілці спектра. Припущено, що цей факт пояснює феномен "псевдощілини".

Досліджено динаміку твердих сфер з непружним розсіянням. Така система є моделлю для гранульованих потоків. Відображення, індуковане зсувом уздовж траєкторій, не зберігає об'єм фазового простору, а відповідний якобіан є відмінним від одиниці. Визначено спеціальну функцію розподілу як добуток звичайної функції розподілу та квадрата якобіана. Для цієї функції розподілу виведено рівняння Ліувілля з граничними умовами. Послідовність кореляційних функцій визначено для канонічного та великого канонічного ансамблів. Для кореляційних функцій виведено узагальнену ієрархію ББГКІ та відповідні граничні умови.

Досліджено проблему існування розв'язків ієрархії для послідовності кореляційних функцій у разі початкових даних (ПД) із прямої суми просторів інтегровних функцій. Доведено існування та єдиність розв'язків, наданих через півгрупу обмежених сильно неперервних операторів. Інфінітезимальний оператор півгрупи збігається на певній скрізь щільній множині з оператором, що визначає праву частину ієрархії. Для ПД із цієї множини розв'язки є строгими, для загальних ПД - узагальненими.

This paper gives a rigorous mathematical description of the equilibrium state of an infinite system of particles on the basis of canonical ensemble theory. The proof of the existence and uniqueness of limiting distribution functions and their analytical dependence on the density is given. The results have been obtained by using the methods developed by two of the authors in 1949 and are based on the application of the theory of Banach spaces to the study of the equations for distribution functions.

We consider the BCS Hamiltonian with the sources as it has been proposed by Bogolyubov and Bogolyubov (jr.). We prove that the eigenvectors and eigenvalues of the BCS Hamiltonian with the sources can be determined exactly in the thermodynamic limit. Earlier, Bogolyubov proved that the energies per volume of the BCS Hamiltonian with sources and the approximating Hamiltonian coincide in the thermodynamic limit.

Розглянуто ідеальну ієрархію ББГКІ для квазіспостережуваних у багаточастинкових системах як основу нерівноважної статистичної механіки та подано повний опис еволюції квазісередніх.