Розроблено числово-аналітичні методи дослідження систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР). Узагальнено аналітичний метод дослідження стійкості за Ляпуновим нульового розв'язку систем ЗДР другого порядку, запропонований D.L. Mingori (1970), який базується на використанні структурних перетворень, що зберігають властивість стійкості за Ляпуновим, з наступним застосуванням теорем Томсона - Тета - Четаєва. Обгрунтовано числово-аналітичний метод (FD-метод) наближеного розв'язання систем нелінійних ЗДР з початковими умовами, що базується на ідеї FD-методу розв'язання операторних рівнянь загального вигляду. Доведено теорему, що містить достатні умови збіжності методу з суперекспоненціальною швидкістю. Запропоновано алгоритм програмної реалізації методу з використання багатопроцесорних систем.

  Скачати повний текст

Досліджено сингулярно збурені варіаційні задачі міграції домішок у нестисливому середовищі та створено схеми методу скінченних елементів для їх розв'язання. Побудовано оцінки констант неперервності та еліптичності білінійних форм варіаційної задачі у термінах норм фізичних характеристик даних задачі та здійснено аналіз чутливості розв'язків до їх збурень у термінах критеріїв подібності. Знайдено апріорні оцінки похибки розв'язків дискретизованих задач, побудованих на базі методу скінченних елементів і класичних схем Гальоркіна. На основі принципу мінімізації нев'язки рівняння на кожному скінченному елементі розроблено стабілізовану схему локалізованих найменших квадратів. Запропоновано апостеріорні оцінювачі похибок апроксимації методу скінченних елементів, на базі яких сконструйовано h-адаптивну схему, що грунтується на рівномірному розподіленні похибки між скінченними елементами триангуляції. Екфективність запропонованих схем продемонстровано прикладами розв'язування сингулярно збурених крайових задач міграції домішок.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Побудовано й обгрунтовано числові методи для прямих і обернених задач з використанням інтегральних рівнянь, згідно з якими для наближеного розв'язання початково-крайових задач у необмежених областях спочатку здійснюється їх часткова дискредизація за методом Роте або шляхом перетворення Лагерра, а далі стаціонарні межові задачі редукуються до межових інтегральних рівнянь. За цього повна дискретизація здійснюється за методом квадратур з використанням тригонометричних квадратурних формул. Цей підхід застосовано для розв'язання важливих задач гідромеханіки, механіки суцільного середовища та дифракції пружних хвиль; еволюційні задачі для рівнянь з першою та другою похідними за часом на многовиді розв'язуються шляхом комбінації перетворення Келлі (або перетворення Лагерра) та методу інтегральних рівнянь. Розглянуто задачу поширення гравітаційних хвиль у каналі з вільною поверхнею. Досліджено єдність розв'язків обернених еволюційних задач реконструкції та диференційованість відповідних нелінійних операторів за межею області. Для наближеного розв'язання розвинуто методи регуляризації Ньютона і Ландвебера у поєднанні з методом межових інтегральних рівнянь.

  Скачати повний текст

З використанням нерівностей із негативними нормами побудовано теорію оптимізації лінійних систем із впливом з класів узагальнених функцій скінченого порядку. Доведено існування та єдиність узагальнених роз'язків прямої та спряженої задач для параболічних і гіперболічних рівнянь загального вигляду. Досліджено умови існування оптимального керування системою та необхідні умови екстремуму у задачах імпульсного керування. Розроблено двокрокові числові алгоритми, ефективні для розв'язання змішаних крайових задач переносу та систем Нав'є - Стокса. Розглянуто головні властивості даних алгоритмів для скалярних та операторних рівнянь у банахових просторах. Побудовано нові неявні дво- та тришарові ітераційні методи знаходження розв'язку системи рівнянь Нав'є - Стокса для нестислої в'язкої рідини. Запропоновано підхід щодо побудови математичних моделей складних динамічних і кінетичних процесів з не повністю визначеними параметрами рівнянь та початкового стану системи. Доведено, що даний підхід грунтується на декомпозиції головної задачі на систему вкладених агрегованих моделей, у процесі якої використано поняття базової системи фізичних гіпотез. Побудовано моделі процесу візуалізації прихованого голографічного зображення на термопластичних носіях та створення робочого середовища хімічного та фоторекомбінаційного лазерів.

  Скачати повний текст

Розроблено загальну теорію числового й аналітичного аналізу задач моделювання й оптмізації лінійних розподілених систем, що знаходяться під впливом зосередженого характеру. Створено теорію узагальненої розв'язності лінійних систем, яку використано для визначання оптимізаційних властивостей і ступеня керованості некласичних лінійних моделей математичної фізики (псевдопараболічних, псевдогіперболічних, С.Л.Соболєва, загальних хвильових і параболічних систем з умовами спряження). Розроблено й апробовано комплекс числових процедур для наближеного розв'язання задач оптимального керування лінійними системами з узагальненим впливом.

  Скачати повний текст

Обгрунтовано двосторонні аналоги методу Ньютона для знаходження власних значень нелінійних спектральних задач. Вперше досліджено нові властивості методу Геллі. Запропоновано нову ефективну чисельну процедуру обчислення похідних (першої та другої) від детермінанта алгебраїчної спектральної задачі, не розкриваючи самого детермінанта. Використовуючи чисельну процедуру обчислення похідних від детермінанта матриці, побудовано алгоритм, який дозволяє обчислити кількість власних значень спектральної задачі, які знаходяться в заданій області комплексної площини та деяке наближення до кожного з них. Запропоновано нову модифікацію алгоритму побудови кривих власних значень лінійних та нелінійних за спектральними параметрами двопараметричних задач на власні значення, який дозволяє знайти всі власні криві, які попадають у задану область зміни спектральних параметрів задачі. Запропоновано й обгрунтовано варіаційний підхід до розв'язування лінійних і нелінійних багатопараметричних (двопараметричних) спектральних задач в абстрактному гільбертовому просторі. Вперше застосовано ітераційні процеси двосторонніх наближень до власних значень для знаходження точок галуження розв'язків нелінійних інтегральних рівнянь, що виникають у задачах синтезу випромінюючих систем за заданою амплітудною діаграмою напрямленості.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Побудовано 3-монотонні сплайни найкращого за порядком наближення 3-монотонних функцій з класичних функціональних класів. Одержано нові оцінки типу Джексона 3-монотонного наближення сплайнами з рівновіддаленими та чебишевськими вузлами. Зауважено, що раніше було відомо лише конструкцію квадратичного 3-монотонного сплайну з рівновіддаленими вузлами. Доведено, що довільний 3-монотонний сплайн з фіксованими вузлами степеня не менше 3-х, що наближує деяку 3-монотонну функцію, завжди можна модифікувати таким чином, щоб одержати 3-монотонний сплайн з тими ж вузлами і того ж степеня, що є двічі неперервно-диференційованою, і зберігає порядок наближення. Одержано 3-монотонний сплайн мінімального дефекту четвертого степеня з рівновіддаленими вузлами, що забезпечує відповідну оцінку наближення. Визначено, що конструкції функцій, що "погано" наближуються зі збереженням форми, є незалежними від кількості вузлів наближуючих сплайнів і степеня n багаточленів. Раніше відомі приклади будувались для кожного n окремо.

  Скачати повний текст

Для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та їх систем з крайовими умовами першого роду побудовано точну триточкову різницеву систему (ППРС). На базі методу монотонних операторів доведено існування та єдність її розв'язку, а також збіжність методу простої ітерації для її розв'язування.

  Скачати повний текст

Розроблено методику синтезу селективних сигналів з фінітним спектром, вільних від міжсимвольної інтерференції, на базі кубічних сплайн-апроксимацій. Проведено аналіз повної енергії селективних сигналів. Визначено питання можливості й якості відновлення випадкових сигналів зв'язку, а також методи підвищення точності інтервального оцінювання випадкових процесів за різній інтенсивності їх оцифровки. Розглянуто методи сплайн-апроксимації для задач управління мережевими елементами та телекомунікаційною системою. Розроблено методи вирішення системних, в тому числі і нелінійних задач за допомогою тензорних сплайнів.

  Скачати повний текст

Досліджено задачі одностороннього контакту без тертя й ідеального механічного контакту кількох пружних тіл. Розглянуто їх еквівалентні формулювання у формі проблеми мінімуму функціонала Лагранжа й у формі варіаційної нерівності. Доведено збіжність методу простої ітерації для абстрактних варіаційних рівнянь з нелінійним доданком і показано, що швидкість збіжності у деякій енергетичній нормі є лінійною. Розроблено методику числової реалізації даних схем декомпозиції області для плоских контактних задач з використанням скінченно-елементних апроксимацій на лінійних і квадратичних трикутних елементах і межовоелементних апроксимацій на лінійних граничних елементах. Проведено числове дослідження ряду задач, яке показує добре узгодження результатів з теоретичними висновками щодо збіжності даних схем методів декомпозиції області та дозволяє виявити нові механічні ефекти.

  Скачати повний текст

Для розв'язання задач комбінаторної оптимізації різних класів запропоновано метод прискореного імовірнісного моделювння (G-алгоритм), що належить до класу стохастичних методів локального пошуку, та метод деформованих багатогранників, який реалізує оригінальну стратегію глобального пошуку у просторі розв'язків. Базуючись на поєднанні переваг розроблених алгоритмів, запропоновано нові гібридні (метаевристичні) алгоритми комбінаторної оптимізації. Досліджено умови їх ефективної реалізації на комп'ютерах з традиційною архітектурою та на багатопроцесорних обчислювальних комплексах. Теоретичні висновки підтверджено результатами проведених обчислювальних експериментів. Розроблено математичні моделі ряду прикладних оптимізаційних проблем. Запропоновано й обгрунтовано нову технологію розв'язання задач оптимального вибору з використанням групових експертних оцінок. На базі розроблених моделей і методів запропоновано та реалізовано технологію підтримки прийняття відповідальних рішень на основі моделювання та прогнозування динаміки основних макроекономічних показників України.

  Скачати повний текст

Запропоновано метод інтерполяції самоподібними множинами у двовимірному евклідовому просторі, що полягає у знаходженні визначеного оператора Хатчинсона і побудові за допомогою даного оператора інтерполяційної множини заданого рангу. Даний метод узагальнено для самоафінних множин. На підставі запропонованого методу створено якісно нові алгоритми інтерполяції, точність і швидкодія яких не поступається, а найчастіше перевищує аналогічні показники відомих алгоритмів приблизно на 40 - 50 %. Розроблені метод та алгоритми інтерполяції використано для підвищення якості збільшених зображень у програмному продукті для людей з вадами зору L&H Magnifier.

  Скачати повний текст

Розроблено методи розв'язування задач моделювання вимірювально-обчислювальних систем (ВОС) надвисокої роздільної здатності. За модель вимірювань обрано операторні рівняння першого роду. Побудовано нові методи парето-оптимального оцінювання виходу з заданого приладу за спотвореними результатами вимірювань іншим приладом тих самих вхідних даних у різних випадках. Зокрема, одержано оцінки за поступового та одночасного надходження результатів вимірювань; за невідомої моделі процесу вимірювань; для випадку нестабільних статистичних характеристик похибок в експериментальних даних; за додаткових обмежень для вимірювального процесу, заданого матрицею спеціального вигляду. Для побудови даних моделей використано ідею багатокритеріальної оптимізації за Парето, диференціювання абстрактної функції, сплайн-апроксимації та особливості ймовірносної та можливої моделі вимірювань. Проведено дослідження одеражних оцінок та їх порівняння з існуючими. Розв'язано важливі та актуальні прикладні задачі редукції вимірювань до обчислень.

  Скачати повний текст

Вперше доведено теорему, яка обгрунтовує модифікований метод послідовних наближень (ММПН) для випадку, коли серед характеристичних чисел оператора є кратні з різними алгебраїчною та геометричною кратностями, запропоновано спосіб обчислення приєднаних функцій, які, разом з власними, відповідають таким характеристичним числам, а також спосіб апостеріорної оцінки точності обчислення характеристичних чисел, визначено область найбільш ефективного використання ММПН. Поширено ММПН на клас узагальнених спектральних задач з поліноміальними матричними пучками довільного степеня та квадратичними пучками лінійних цілком неперервних операторів, що діють у гільбертовому просторі. Здійснено числову та програмну реалізацію ММПН, проведено низку числових експериментів, за результатами яких показано переваги ММПН над іншими методами для різних класів задач, апробовано методику апостеріорної оцінки точності методу, виконано апостеріорну оцінку швидкості збіжності наближених розв'язків до точних.

  Скачати повний текст

Обгрунтовано та розвинуто модифікований метод послідовних наближень (ММПН), призначений для обчислення характеристичних чисел (простих і кратних) лінійного цілком неперервного оператора, що діє у нормованому функціональному просторі, а також відповідних їм власних і приєднаних (якщо такі є) функцій. Запропоновано спосіб апостеріорної оцінки точності одержаних характеристичних чисел. ММПН поширено на узагальнені спектральні задачі з поліноміальними матричними пучками та квадратичними пучками лінійних цілком неперервних операторів, що діють у гільбертовому просторі. Розроблено алгоритми та програми числової та аналітичної реалізації методу. На прикладах розв'язування багатьох задач продемонстровано високу ефективність ММПН, його переваги у порівнянні з іншими методами розв'язування спектральних задач.

  Скачати повний текст

Автор пропонує та досліджує новий клас різницевих апроксимацій - різницеві оператори Лапласа на неортогональних шаблонах прямокутної сітки. Детально розглянуто два важливі випадки - оператор на неортогональному семиточковому шаблоні на площині та на неортогональному тринадцятиточковому шаблоні у тривимірному просторі. Проведено аналіз спектральних та дисперсійних властивостей цих операторів. Доведено, що дисперсійні властивості різницевих схем на неортогональних шаблонах кращі за дисперсійні властивості звичайних схем на прямокутних сітках. Одержано оцінки точності схем, що використовують неортогональні шаблони, для еліптичних та гіперболічних рівнянь з негладкими розв'язками. Доводиться, що для схеми з оператором на семиточковому шаблоні вибором правої частини можна досягти четвертого порядку апроксимації як для еліптичного, так і для гіперболічного випадку. Запропоновано прямі методи розв'язування схем на неортогональних шаблонах. Показано, що перехід на прямокутну сітку для двовимірного рівняння дозволив збільшити ефективність алгоритмів у два рази, порівняно із трикутною сіткою, причому без погіршення апроксимаційних та дисперсійних властивостей схеми.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Створено алгоритмічні основи та побудовано прикладні програмні засоби дослідження багатозв'язних динамічних об'єктів, які описуються системами інтегральних рівнянь Вольтерра. На підставі аналізу особливостей інтегральних моделей і методів їх числової реалізації розроблено алгоритми розв'язання систем лінійних і нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерра I і II роду, які враховують вимоги щодо точності одержаних розв'язків, забезпечують ефективну комп'ютерну імплементацію з застосуванням різних числових методів. Ефективність алгоритмів перевірено під час розв'язання певних модельних прикладів і прикладних задач. З використанням запропонованих алгоритмів розроблено комплекс прикладних програм для дослідження широкого класу динамічних об'єктів у середовищі MATLAB.

  Скачати повний текст